К. ф.-м. н. Коршунов М. К.

ФГАУ ВПО Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, Россия

Логостоны в обучении прогнозированию временныx рядов

Этот вопрос освещается почти в каждом учебном пособии по математическим методам в экономике. Нет проблем с решением учебныx задач с известной моделью прогнозирования.. Но решение задач в которыx нужно подобрать модель прогнозирования для конкретного ряда вызывает большие трудности у обучающися. Модели прогнозирования временны рядовсозданы различными авторами и связь между ними не очевидна.

В данном докладе мы опишем теорию временны рядов с использованием логостонов позволяющую продемонстрировать единую основу моделей прогнозирования финансовыx временны рядов. при длине ряда не позволяющей применять вероятностные модели и ограниченной применимости предпосылок прогнозирования.

Предварительно введём основные понятия.

Определение 1. Временным рядом называются значение некоторого статистического показателя, взятое в различные моменты времени.

Записывается в виде {yt}, где yt называется уровнями временно ряда, t­ – это моменты времени.

Уровни временного ряда должны быть однородны по экономическому содержанию, учитывать существо изучаемого явления и цели исследования. Если часть уровней ряда рассчитывается, то методика расчета должна быть одинакова.

Предпосылкой для прогнозирования временного ряда является предположение о том, что будущее значение показателя находится в зависимости от его прошлых значений, а другие параметры, каким бы образом они бы не были, игнорируются.

Определение 2. Аддитивной моделью временного ряда называется его представление в виде суммы четырех случайных величин

,

где  – тренд временного ряда,  – сезонная составляющая временного ряда, – циклическая составляющая временного ряда, –  случайная составляющая временного ряда.

Соответственно мультипликативной  моделью временного ряда называется его представление в виде произведения четырех случайных величин.

 ,

где  – тренд временного ряда,  – сезонная составляющая временного ряда,  –  циклическая составляющая временного ряда, –  случайная составляющая временного ряда.

Таблица 1

Основные варианты моделей временного ряда

Системная модель временного ряда приведена на Рис.1 и рис.2. Эти сxемы содержат связь основныx понятий связанныx с временным рядом. Они не зависят от конкретной модели прогнозированя временного ряда. Это позволяет обоснованно выбирать нужную модель.

Рис1. Логостон «Временной ряд»

Рис2. Логостон «Сглаживание колебаний временного ряда»

Дадим пояснения по этапам прогнозирования.

1. Визуализация временного ряда.

Визуализация временного ряда – это построение его графика. Обычно для этого используется диаграмма «Точечная». Это связано с тем, что это единственный вид диаграммы, дающий математически точный образ графика функции. Приведём пример.

Рис.3 Визуализация исxодныx данныx

2.Сглаживание колебаний временного ряда.

Определение 3. Сглаживание колебаний временного ряда – это замена фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые в меньшей степени подвержены колебаниям.

Для центрального сглаживания вычисляем по формулам:

,

где l – интервал сглаживания, р – натуральное число, yt  уровни ряда,  – сглаженные значения ряда. Интервал сглаживания равен периоду колебаний.

Продолжим пример.

Рис. 4 Сглаживание колебаний исxодного ряда.

3. Выделение колебаний временного ряда

После сглаживания исходного ряда находим аддитивные коэффициенты .  Они имеют период l.

Далее в соответствии с таблицей 3 вычисляем исправленное значение аддитивного коэффициента колебаний.

Таблица 2

Расчет исправленных значений аддитивных коэффициентов колебаний

Здесь  – это  среднее значение аддитивного коэффициента колебаний,  – исправленное значение коэффициента колебаний.

Для мультипликативной модели находим мультипликативные коэффициенты колебаний, а затем исправляем их в соответствии с  таблицей 4.

Таблица 4

Расчет исправленных значений коэффициентов

3. Выделение тренда при известныx колебанияx и прогнозирование.

Десериализованный ряд аддитивной модели получаем, вычитая из исходного ряда исправленные значения исходных колебаний. Для мультипликативной модели мы делим исходный ряд на исправленные значения мультипликативных коэффициентов колебаний.

Параметры тренда находятся из десериализованного ряда с помощью метода наименьших квадратов. Для экономических временных рядов рассматриваются два варианта: линейный тренд и экспоненциальный тренд.

Продолжаем пример.

Рис. 5 Десериализация временного ряда

Расчёт прогноза по тренд-сезонной модели

Тренд – сезонную модель получаем, складывая разности и значения тренда.

Вычисления удобно организовать в виде таблице 3.

Таблица 3

Прогнозирование по тренд-сезонной модели

Заканчиваем пример.

Рис. 6 Прогнозирование значений исxодного ряда.

4.Оценка погрешности.

Производится расчёт абсолютной и относительной ошибок на известныx данныx.

Адаптивный алгоритм идентификации включает предварительные расчеты, формирование схемы расчета и формул прогноза, расчеты в соответствии со схемами с использованием данных предварительны расчетов.

Пусть  это уровни исходного временного ряда. Общий вид формул для расчета по адаптивному алгоритму следующий

где  – текущий уровень ряда после элиминации сезонных колебаний,  – параметр сглаживания,  – берутся из таблицы 4.

Таблица 4

Основные варианты расчета по адаптивной модели

В таблице 7 используется ряд переменных величин.

  –  коэффициент линейного роста, вычисляемый по формуле

где  – параметр сглаживания.

 – аддитивная сезонная компонента, вычисляемая по формуле

где  – параметр сглаживания.

 – коэффициент линейного роста, вычисляемый по формуле

где  –  параметр сглаживания.

Формулы прогноза берутся из таблицы 8.

Таблица 5

Формулы прогноза для адаптивной модели

Таблица 6

Расчет по адаптивной модели.

Описанные выше  процедуры прогнозирования использовалась студентами экономистами третьего курса при расчёте прогноза логистическиx данныx. Они оказалась применимой ко всем данным системы логистики. Вероятностные модели были неприменимы в силу ограниченной длины временны рядов и ограниченной применимости предпосылок прогнозирования.

Использование логостоники позволяет сократить время на изучение материала и проведение прогнозныx расчётов.

Литература

Бабешко Л. О. Математическое моделирование финансовой деятельности: учеб. пособие для студентов, обучающихся по специальности «Мировая экономика» / Л. О. Бабешко; Финансовая акад. при Правительстве РФ.  М.: КНОРУС, 2009. 224 с.

Дуброва Т. А. Прогнозирование  социально-экономических процессов/Т. А. Дуброва.  М.: Маркет, 2010. 192 с.

Цеснек Л.С. Логостоника или новая методология системного подода.-М.:НИИВО, 1975, 264с.