К.э.н. Андриенко В.М.

Одесский национальный политехнический университет

Фрактальные характеристики временных рядов фондовых индексов

Существуют различные точки зрения на эту проблему. В работе [1]   предложена система индикаторов – предвестников нестабильности на финансовом рынке России, разработанная на основе методологии «сигнального» подхода [2]. Под сигналом понимается выход  того или иного индикатора за пределы порогового значения.

В рамках концепции эффективного рынка рассматривают волатильность рынков [3]  и факторы, влияющие на волатильность. Предполагается, что количественные оценки факторов могут служить  индикаторами негативных ситуаций  на рынках. Этому направлению посвящены работы [3,4,5]. При этом используются классические эконометрические регрессионные методы анализа и моделирования. В [4] использовалась эконометрическая модель бинарного выбора, а в [5] проведено исследование на основе регрессионно - факторного анализа. Поскольку ситуация на рынке быстро меняется, то такого типа модели не могут  использоваться на длительном временном горизонте. Для того, чтобы модель адекватно соответствовала ситуации,  ее нужно строить заново. 

В своей книге [6] Э.Петерс показал, что фондовые рынки обладают фрактальными свойствами и сформулировал гипотезу фрактального рынка. В рамках этой концепции исследуются динамические и структурные характеристики рынков на основе синергетики и эконофизики [7,8,9]. Для этого используется аппарат теории случайных матриц, мультифрактального, вейвлет-анализа, методы анализа рекуррентных диаграмм, энтропийные методы и тому подобное. Так, например,  в [7] показано, что мультифрактальный спектр финансовых рядов данных проявляет специфическое поведение при кризисных обвалах. Накануне кризиса он сужается и экстремум смещается к нулю. В статье [8]  на основе рекуррентного анализа, на примере котировок фондового индекса S&P500 сделан вывод о том, что наиболее информативной мерой для мониторинга рынка является ламинарность исследуемых данных. Однако, вопросы универсальности приведенных показателей требуют обсуждения.

Данная работа направлена на исследование фрактальных свойств временных рядов мировых фондовых индексов и выявление закономерностей в данных процессах в предкризисные периоды на основе R/S анализа. Основным показателем выступает фрактальная размерность, которую отражает показатель Херста [6].

В таблице 1 приведены значения показателя Херста для индексов разных стран по ежедневным  значениям индекса на момент закрытия торгов за период 2000-2014гг. Из таблицы видно, что  в предкризисный период, на всех рынках произошло снижение  значений показателя Херста. Это  наглядно отражают графики на рисунке 1. 

Таблица 1

Значения показателя Херста

Рис.1. Динамика  показателя Херста

Таким образом, можно предположить, что возникновение описанной  ситуации  может быть предвестником кризиса.

Классификация временных рядов по значениям показателя Херста производится следующим образом:

1)  - означает антиперсистентность, то есть фондовый индекс меняет направление чаще, чем случайный ряд. Чем ближе значение  к нулю, тем неустойчивей динамика индекса (за подъемом следует спад и наоборот).

2)  - указывает на то, фондовый индекс  обладает   персистентным  свойством.  Он характеризуется эффектами долговременной памяти и имеет склонность следовать трендам. Если индекс возрастает (убывает) в предыдущий период, то вероятно, что он будет сохранять эту тенденцию какое-то время в будущем. Трендоустойчивость поведения увеличивается при приближении  к единице.

3) - соответствует  случайному ряду. Данные  случайны и независимы. Такой процесс  полностью лишен памяти.  Рынок стагнирует, нет никаких движений или они цикличны с очень большой частотой колебаний [6].

Оценки показателя    для всех рынков находятся в интервале [0,37; 0,6 ]. В соответствии с R/S −анализом необходимо протестировать нулевую гипотезу о том, что исследуемый временной ряд значений фондового индекса является случайным. Для этого вычисляется статистика  [7,10]. Нулевая гипотеза принимается на соответствующем уровне значимости, если статистика  попадает в какой- либо из интервалов таблицы 2. В противном случае, можно считать, что с вероятностью  ряд не является случайным [10].  

Таблица 2

Область принятия гипотезы  для статистики

В таблице 3 приведены значения статистики   для  индексов, приведенных в таблице 1.

Таблица 3

Значения статистики

Для значений , гипотеза о случайности ряда  отклоняется на уровне значимости  . Таким образом, вероятность того, что данные представляют случайный ряд,  равна . С ростом   эта вероятность увеличивается, а для  некоторых индексов нулевая гипотеза  принимается (например, для данных  таблицы 3 за 2006-2007г.г.). По графикам рисунка 2 видно, что это происходит как раз в предкризисный период, когда  . Это свидетельствует о том, что фондовые индексы в предкризисный период могут изменять свои свойства.

Рис. 2.  Динамика статистики .

Фрактальная размерность  связана  с показателем Херста простым соотношением . Снижение  влечет увеличение  фрактальной размерности. На практике это означает, что возрастает число инверсий в эмпирических данных, то есть динамика рынков становится менее устойчивой и более непредсказуемой. На рисунке 3 приведены графики динамики американского индекса  Dow −Jonеs  в 2005-2008г.

Рис.3. Динамика индекса Dow-Jonеs в 2005-2008гг.

Из рисунка видно,  что в предкризисный период индекс демонстрировал поступательный рост, тем не менее, в 2008г. произошло резкое изменения тенденции. График 2005г. - это практически гладкая линия, а в период 2006-2007гг. график  становится зазубренным, индекс меняют направление чаще. Индексы других стран демонстрируют аналогичную ситуацию. Таким образом, можно констатировать, что в предкризисный период увеличивается фрактальная  размерность пространства эмпирических данных, изменяются их свойства. Это может быть предвестником дестабилизации рынка.

Литература:

1.  Разработка опережающего индекса финансовой стабильности в РФ.  Институт экономической политики им. Е. Т. Гайдара, группа «Открытие Капитал» [Електронний ресурс], М: 2011. — Режим доступа: www.otkritie.com.

2. Kaminsky G., Lizondo S., Reinhart C. Leading Indicators of Currency Crises // IMF Staff Papers. 1998. Vol. 45 (March). pp. 1-48.

3. Bloom  N. The Impact of Uncertainty Shocks//Econometrica.-2009.-Vol.77.- №3.-С.623-685.

4. Федорова Е.А., Назарова Ю.Н. Финансовые индикаторы кризисной ситуации Российскогофондового рынка [Текст] // Аудит и финансовый анализ. - 2009. -N 6. - С. 442-446.

5. Андриенко В. М. Оценка влияния макроэкономических показателей на динамику фондового индекса ПФТС [Електронний ресурс] /В. Андриенко // Соціально-економічні проблеми і держава. — 2013. — Вип. 1 (8). — С. 31–43. — Режим доступа: http//sepd.tntu.edu.ua/images/stories/pdf/2013/13avmfup.pdf.       

6. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рисков./Петерс Э. Интернет-трейдинг М.:2004. -304 с.

7.  Дербенцев В.Д., Сердюк О.А., Соловйов В.М., Шарапов О.Д. Синергетичні та еконофізичні методи дослідження динамічних та стуктурних характеристик економічних систем// Монографія. Черкаси, 2010.

8. Соловьёва В.В., Тулякова А.Ш. Использование мультифракталов в анализе фондовых рынков //Монографія. Інформаційні технології та моделювання в економіці: на шляху до міждисциплінарності. Черкаси 2013– С. 130-140.

9. Піскун О.В. Особливості застосування рекурентних діаграм і рекурентного кількісного аналізу для дослідження фінансових часових рядів / О.В. Піскун // Фінансовий простір. – 2011. – № 3 (3). – С. 111 – 118.

10.  Andrews D. Non-Strong Mixing Autoregressive Process//Journal of Probability.-1984.-№21.-P.- 930-934.999.