Пучков А.Ю., Павлов Д.А.

Интеллектуальный алгоритм решения обратных задач

ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ

Комплекс задач, возникающих перед исследователями в различных областях можно условно разделить на две большие группы: прямые и обратные задачи. В прямых задачах по входным данным модели процесса надо определить выходные значения  используемой модели (к  таким задачам относятся задачи планирования, оценки альтернативных решений). В обратных задачах наоборот, известны выходные значения модели и на основании этих значений проводится поиск входных данных, приводящих к появлению имеющихся выходных. Задачи в обратной постановке возникают в рентгеновской компьютерной томографии, магнитно-резонансной томографии, реконструкции искаженных изображений (иконки),  спектроскопии, геологоразведке [1]. В работе предложен подход к решению обратных для разных предметных областей, который базируется на применении интеллектуальных методов, а именно нечеткого фильтра Калмана и искусственных нейронных сетей.

В основе предлагаемого подхода к решению обратных задач лежит предварительное  использование для сигнала фильтра Калмана перед тем, как этот сигнал будет подан на вход искусственной нейронной сети. Фильтр представляет собой алгоритм обработки данных, который убирает шумы и лишнюю информацию [2]. Выбор  фильтра Калмана среди многообразия алгоритмов фильтров был обоснован тем, что он позволяет учесть априорную информацию о характере системы, связи переменных и на основании этого строить более точную оценку, чем применение алгоритмов, не учитывающих эту информацию. Кроме того, фильтр Калмана дает возможность восстановить переменные состояния, не присутствующие в явном виде в сигнале наблюдения.

В общем случае обратная задача может быть описана в следующем виде. Пусть x=G(v), где  оператор G описывает отношения между данными и параметрами модели, и представляет собой физическую систему, х и v являются векторами. Задача состоит в том, чтобы по информации о векторе x определить вектор v.  В случае линейной обратной задачи, описывающей линейную систему, получаем x=Gv. Для нелинейной обратной задачи G представляет собой нелинейный оператор, который не может быть приведён к виду линейного отображения, переводящего  в данные. Способы решения прямых задач достаточно хорошо разработаны и изучены, так как они соответствуют привычной постановке проблемы – есть данные на входе объекта и надо определить, что будет на его выходе, если модель объекта известна. Этого нельзя сказать про обратные задачи, методы решения которых чаще всего базируются на учете специфики предметной области.

В предлагаемом алгоритме решение обратной задачи ищет искусственная нейронная сеть, которая предварительно должна быть обучена на специально подготовленных наборах исходных данных. Эти наборы могут быть получены путем целенаправленного воздействия на объект заранее подготовленными исходными данными и регистрацией его реакции, а также с использованием имитационных моделей. Использование нейронных сетей позволяет получать решение обратных задач для случая как линейного, так и нелинейного  оператора G. Однако оператор G-1 должен удовлетворять требованиям теоремы о полноте, то есть быть непрерывным на замкнутом ограниченном множестве данных. В этом случае он может быть равномерно приближен функциями, вычисляемыми нейронными сетями, если функция активации нейрона дважды непрерывно дифференцируема. Тогда, выбрав искусственную нейронную сеть с соответствующей структурой, можно найти решение задачи v =G-1(x) с точностью, определяемой точностью задания вектора х и оператора G.

Следует отметить, что для обратных задач характерна ситуация, когда малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений. Для снижения этого влияния предложено подавать на вход нейронной сети данные, подвергнутые процедуре фильтрации, а именно, фильтрации с помощью алгоритма Калмана. Этот фильтр позволяет использовать часть априорной информации и в свою очередь, снизить неопределенность данных для решения обратной задачи нейронной сетью.

При решении обратных задач вектор x обычно представляет собой результат измерений, для которых характерно наличие векторного шума измерения N, вызывающего неточность определения x. Если u=Cx+N - это измеренное значение x, где C – матрица измерений соответствующего размера то речь может идти лишь о нахождении приближенного к v решения уравнения. Для применения фильтра Калмана необходимо представить сигнал х в виде матричного дифференциального уравнения dx(t)/dt=Ax(t)+s(t), где А – матрица системы, s(t) –случайный процесс типа «белый шум», называемый «порождающим» процессом. Должны быть также известны статистические характеристики процессов N(t), s(t) и соответствующие начальные условия. В результате расчета фильтра определяется его коэффициент усиления К, который «взвешивает» новую информацию, полученную в результате измерения и корректирует текущее значение вектора х.

Суждения о параметрах модели объекта эксперты дают на основе статистических данных, представленных с какой-либо временной дискретностью, но, несмотря на это, для человека удобнее и интуитивно понятнее отражать процессы в непрерывном времени. Поэтому полученное описание формирующего фильтра, можно считать, представлено в непрерывном времени. В свою очередь, решение обратной задачи с помощью нейронной сети осуществляется для дискретных моментов времени Δt, поэтому удобнее применять дискретный алгоритм фильтра Калмана, согласуя интервал дискретизации по времени с Δt [3].

Проведенный в среде MatLAB модельный эксперимент подтвердил ожидаемое снижение дисперсии  приближенного квазирешения при использовании фильтра Калмана по сравнению с дисперсией квазирешения, когда предварительная фильтрация сигнала на входе нейросети не проводилась.

Представленная в работе методика решения обратных задач с применением нейросети и предварительной фильтрацией отличается универсальностью по отношению к классам обратных задач. В связи с этим, она может быть использована в различных прикладных областях, но особенно ее применении целесообразно там, где получение модели объекта исследования возможно лишь на основе знаний экспертов.

Литература:

1 Тихонов А.Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. – 284 c.

2 Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана–Бьюси: Детерминированное наблюдение и стохастическая фильтрация / Пер. с нем. В. Б. Колмановского. М:. Наука, 1982. - 199 с.

3 Пучков А.Ю., Павлов Д. А. Алгоритмы поиска решения обратных задач при непрерывном и дискретном времени./Научное  обозрение (научный журнал). №1, 2013. Саратов: ООО «АПЕКС-94»  С. 174 – 176.