Орлова К.Ю., Иванов Д.Ю.

Задача управления производственной мощностью предприятия

Задача управления производственной мощностью предприятия

Рассмотрим агропромышленное предприятие, занимающееся выращиванием овощей в условиях защищенного грунта.

Введем в рассмотрение следующие параметры:

- Время нахождения в основной теплице t. Определяется с момента посадки рассады в основную теплицу. Пусть n – максимально возможное время нахождения в теплице, при котором растение перестает плодоносить, следовательно, не имеет смысла его оставлять.

- Урожайность q(t). Примем под данным понятием количество продукции одного вида, собираемое за рассматриваемый промежуток времени (например, месяц). Данный показатель зависит от срока жизни растения. Однако поскольку растение не плодоносит, пока находится в рассадном отделении, возможно рассмотрение урожайности относительно времени нахождения в основной теплице t. Урожайность с течением времени возрастает, достигает максимума, затем убывает.  На рисунке 1 проиллюстрирован пример графика зависимости урожайности от периода пребывания в теплице, сделанный на основе данных об объеме продаж томата (продукция продавалась без остатка). Отметим, что растение начинает плодоносить в третьем месяце нахождения в теплице. Соответственно, максимум урожайности приходится на шестой месяц.

Рисунок 1 – Зависимость урожайности от времени

- Затраты на пересадку, или рекультивацию, растений зп (i) . Складываются из затрат на выращивание рассады, упущенной выгоды от освобождения площадей для выращивания рассады, а также расходов, непосредственно связанных с рекультивацией растений, т.е. расходов на уборку старых растений из основных теплиц и посадку в них рассады. При этом затраты на  выращивание рассады фактически осуществляются в  предшествующем периоде, поскольку для осуществления этого требуется время. Упущенная выгода также определяется для предшествующего периода. Таким образом,

- Цена на продукцию p(i). Обладает цикличностью, зависит от рассматриваемого периода. Цена на овощную продукцию в холодное время года в несколько раз выше, чем в теплое, когда рынок насыщен продукцией открытого грунта. [2]

Рассмотрим возможность рекультивации растений до прекращения плодоношения с целью получения в дальнейшем большей прибыли за счет продажи большего количества продукции по более высокой цене.

Используя методы динамического программирования, найдем оптимальный срок рекультивации растений.

Пусть каждый шаг процесса соответствует месяцу. При этом показатели, зависящие от периода, а именно, цена и затраты на рекультивацию,  определяются не номером шага как таковым, а месяцем, которому данный шаг соответствует.

В качестве фазовой переменной xi, определяющей состояние системы, примем время нахождения растения в основной теплице на конец месяца.

В качестве управляющего воздействия возьмем решение предприятия о рекультивации растений. Данная переменная будет иметь два значения: пересадить (1) или сохранить (0), т.е. ui = {1;0}. Пусть решение о рекультивации принимается в начале текущего месяца. При этом растение, пробывшее в теплице n периодов (т.е. если xi-1=n), требуется пересадить в начале текущего периода, т.е. .

Пусть урожайность зависит от периода нахождения в теплице, т.е. от xi. В случае сохранения растения частной целевой функция на i-м шаге будет являться выручка от продажи продукции в объеме q(xi) по цене p(i):

.

В случае рекультивации растений предприятие несет дополнительные расходы на пересаживание:

.

В общем виде частные целевые функции могут быть записаны следующим образом:

.

Для данной задачи выполняется условие аддитивности целевой функции, т.е. целевая функция, или критерий оптимальности многошагового процесса, является суммой частных целевых функций:

.

Целевая функция Z будет равна суммарной выручке за все рассматриваемые месяцы за вычетом затрат на рекультивацию.

При дискретных значениях параметров решение данной задачи осуществляется при помощи таблиц.

Вариант представления исходных данных показан в таблицах 1-2:

Таблица 1– Зависимость урожайности от периода нахождения в теплице

Таблица 2 – Цена и затраты на рекультивацию

В таблице 2 индекс j характеризует номер месяца по календарю (с января по декабрь). Пусть данные значения используются для всех рассматриваемых лет.

Основные таблицы для каждого шага можно представить следующим образом (таблица 3):

Таблица 3. Основная таблица для i-го этапа

Здесь xi-1 – состояние системы на начало шага, ui  – управляющее воздействие на текущем шаге,  xi  – состояние системы на текущем шаге,  zi  – частная целевая функция на текущем шаге,  Bi-1  – функция Беллмана, характеризующая максимально возможный суммарный экономический эффект (сумму частных целевых функций) с i-го по последний  периоды. Функция Беллмана является рекурсивной и определяется для каждой возможной фазовой переменной xi-1 как максимум суммы частной целевой функции и функции Беллмана от фазовой переменной текущего шага. При вычислении частной целевой функции относительно значения фазовой переменной на текущем шаге, функция Беллмана может быть записана следующим образом:

.

При этом функция Беллмана от фазовой переменной последнего шага xN равна нулю, т.е.  . [1]

В случае однозначно определенного начального значения x0 максимальным значением целевой функции будет функция Беллмана на первом шаге B0 (x0):

Возможно использование вспомогательной таблицы со значениями функций Беллмана на каждом шаге (таблица 4).

Таблица 4. Значение функций Беллмана на i-м шаге

Заполнение первых четырех граф основной таблицы (xi-1, ui, xi , zi) осуществляется последовательно с первого по последний этапы, а последних трех граф (Bi, zi+Bi , Bi-1) и вспомогательной таблицы – в обратном порядке. [1]

Рассмотрим в качестве примера оптимизацию сроков рекультивации огурца на предприятии ОАО "Тепличный" (г. Самара).

Примем число шагов процесса N = 13 (год и один месяц): с января текущего года по январь следующего включительно. При стандартном плане посадка растений в основную теплицу приходится на начало января. Тогда январь будет первым периодом нахождения растений в основной теплице. Начальное значение фазовой переменной будет  x0 = 0. При этом u1 = 0, т.к. растение только посажено.

Зависимость урожайности огурца от периода нахождения в теплице отражена в таблице 5.

Таблица 5 – Зависимость урожайности огурца от периода нахождения в теплице

Значения средней цены и приближенно вычисленных затрат на рекультивацию отражены в таблице 6.

Таблица 6 – Цена и затраты на рекультивацию

Приведем несколько основных таблиц.

Таблица 7 - Основные таблицы

В результате решения данной задачи было установлено, что максимальное значение целевой функции Z* = B0(x0) = 155146176,6 достигается при рекультивации в шестом периоде растений после пяти месяцев нахождения в теплице и в девятом периоде после трех месяцев.

В соответствии с данными об объемах продаж в стоимостном эквиваленте, выручка за аналогичный период составила 116266853,34 рублей. Рекультивация растений проводилась в январе и июле, соответственно затраты на рекультивацию составили 140000+96000=236000 рублей. Следовательно, выручка за вычетом затрат на рекультивацию – показатель, являющийся целевой функцией данной задачи – составила Z = 116030853,34 рублей. Оценим эффективность предложенных мероприятий:

.

Таким образом, предложенный механизм управления производственной мощностью агропромышленного предприятия позволяет существенно повысить эффективность хозяйственной деятельности без дополнительных капиталовложений.

Литература:

1. Лежнев А.В. Динамическое программирование в экономических задачах: учебное пособие – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. – 176 с.

2. Решетникова Т.В. Состояние и потенциал рынка овощей и зелени защищенного грунта ЦФО РФ. Демо-версия исследования консалтинговой компании «Технологии роста», 2012