Федотова В.И. магистр факультета математики Одесский Национальный Университет им.И.И.Мечникова, Украина

Хеджирование опциона американского типа с применением биномиальной модели рынка

Финансовый рынок – важная часть финансовой системы государства, неотъемлемый атрибут современной рыночной экономики. Кроме того, финансовый рынок является исключительно сложной структурой с большим количеством участников, которые вступают в экономические отношения, оперируя разнообразными финансовыми инструментами, основным классом которых являются ценные бумаги.

Существует много видов опционов, однако основными являются опционы европейского и американского типов. Европейский опцион может быть погашен только в одну указанную дату, американский опцион может быть погашен в любой момент времени до истечения срока опциона.

То есть задача оценки стоимости опциона американского типа является более сложной, чем в случае европейского опциона, и включает в себя также задачу определения оптимального момента исполнения.

Одним из самых распространенных методов оценки таких опционов является применение биномиальной модели Кокса-Росса-Рубинштейна, основанной на моделировании цены базового актива опциона (который является рисковым) с помощью дискретного случайного блуждания.

Опишем соответствующую вероятностную модель рынка для одного рискового актива. Последовательность описывает динамику цены безрискового актива (например, банковский счет); рыночные цены рискового актива описываются стохастической последовательностью .на вероятностном пространстве рынка. Также на указанном пространстве рассматривается фильтрация , которая интерпретируется как объем информации, доступный каждому участнику рынка в момент . Т.е. для любого случайные величины, измеримые относительно , становятся полностью известными всем участникам рынка в момент не позже . Портфелем ЦБ называется пара последовательностей величин и - вкладов соответственно в безрисковый и рисковый активы в единицах этих активов. Капитал же портфеля равен, таким образом . Начальные цены рассматриваемых активов известны, кроме того, не ограничивая общности можно считать . Временной горизонт рассматриваемого американского опциона определен. Возможные убытки эмитента и, соответственно, доходы держателя опциона в каждый момент времени описываются неслучайной функцией цен рискового обязательства , которая называется платежным обязательством. Таким образом, опцион американского типа порождает совокупность платежных обязательств , подлежащую покрытию. Ставка изменения цены безрискового актива за один такт времени детерминирована, ставка изменения цены рисковой ЦБ является случайной величиной, сосредоточенной в точках и , причем . Описанный таким образом рынок является полным , на нем существует единственная мера , называемая мартингальной и применяемая для оценки стоимости платежных обязательств, порождаемых опционами.

Для оценки американского опциона в биномиальной модели рынка используется следующая методология. Рекуррентным образом строится стохастическая последовательность специального вида :

При .

При : .

На каждом шаге в соответствие этой функции ставится -измеримая случайная величина , трактуемая как момент исполнения опциона. Это выражения следует понимать так: если в текущий момент времени дисконтированное платежное обязательство строго меньше максимального прогноза будущего , то опцион не следует подавать к исполнению.

Таким образом, продолжая указанную процедуру в обратном времени, найдем окончательное значение премии за опцион , а также искомый момент остановки .

Однако задача эмитента заключается не только в нахождении оптимальной премии за опцион, но и в построении такой самофинансируемой стратегии с начальным капиталом , которая покрыла бы порождаемое опционом платежное обязательство в момент его исполнения: .

Заметим, что есть ни что иное, как капитал, необходимый в момент времени для покрытия текущего и всех возможных будущих платежных обязательств , и вычислим требуемые коэффициенты и , руководствуясь принципом покрытия на следующем шаге определенного платежного обязательства, что равносильно достижению на следующем шаге капитала, необходимого для покрытия всех платежных обязательств последовательности в будущем, а именно:

Напомним, что и являются измеримыми. Общая сумма капитала, вложенного в безрисковый актив в момент времени составит:

.

Проверим, что такое распределение капитала в момент времени действительно возможно. Пусть в момент времени эмитент опциона располагает капиталом , и в этот момент опцион не исполняется. Это значит, что

,

т.е капитал хеджирующего портфеля в момент времени равен:

.

Нетрудно проверить, что действительно , то есть такой вклад возможен. Аналогичным образом можно проверить, что , то есть такой портфель действительно покрывает платежное обязательство для любого .

Литература: Леоненко П.М., Юхименко П.І., Ільєнко А.А. та ін. Теорія фінансів. /За загальною ред. О.Д. Василика. – Київ: Центр навчальної літератури, 2005. Пономаренко О.І. Основи математики фінансів і страхування. – Київ, КНУ, 2004. Барабанов А.Е., Краткие сведения по стохастической финансовой математике.