Дмитренко И.С., Колесников С.А.

Применение методов классической оптимизации и функциональных уравнений Беллмана при решении задач о распределении инвестиций

Среди экономически важных задач большой интерес представляет проблема распределения капитальных вложений между отраслями или предприятиями отрасли. Постановка таких задач, а значит и подбор соответствующего метода решения, зависит от способа задания функции дохода предприятия. В данной работе рассмотрены два способа задания функции доходности и предложены следующие методы решения : 1) метод классической оптимизации, предусматривающий исследование непрерывной функции многих переменных на экстремум с помощью построения функции Лагранжа,  2) метод обратной прогонки динамического программирования для дискретной функции дохода, предусматривающий составление функциональных уравнений Беллмана.

Инвестиции,

усл.ден.ед.

Прирост выпуска продукции, усл.ден.ед.

g1(x)

g2(x)

g3(x)

g4(x)

8

10

12

11

100

16

21

23

150

25

28

27

30

200

36

40

38

37

250

44

48

50

51

Запишем уравнение Беллмана для метода обратной прогонки и разобьем решение задачи на 4 этапа.

Этап 4.    F5(C5)=0

Этап 3.           

 Этап 2.                  

 Этап 1.       

Из таблицы этапа 1 находим оптимальное значение целевой функции при распределении между предприятиями всей суммы С1=250: F1(250)=55. При этом первому предприятию должно быть выделено x1*=0 ден.ед. Тогда остальным трем предприятиям остается распределить С2=С1-x1*=250-0=250 ден.ед.  Из таблицы этапа 2 выделению суммы С2=250 соответствует значение x2*=100, тогда С3=С2- x2*=250-100=150 ден.ед. Из таблицы этапа 3 выделению суммы С3=150 соответствует значение x3*=50, тогда С4=С3- x3*=150-50=100 ден.ед. На последнем этапе 4 определяем x4*=100.

Таким образом, оптимальный план инвестирования предприятий:

X*= (0,100,50,100), который обеспечит максимальный доход, равный

F(250)=g1(0)+g2(100)+g3(50)+g4(100)=0+20+12+23=55 усл.ден.ед.

Вторая задача имеет похожую постановку, но функции дохода являются нелинейными. Для модернизации трех предприятий совет директоров инвестирует средства в объеме 150 денежных единиц. Пусть приросты выпуска продукции, а значит и общего дохода, зависят от выделенной суммы  для i-го предприятия и выражаются соответствующими квадратичными зависимостями:

Найдем методом множителей Лагранжа распределение инвестиций между предприятиями, которое обеспечит фирме максимальный прирост продукции.

Перед тем, как составить функцию Лагранжа, запишем функцию суммарного дохода предприятий:  

Тогда функция Лагранжа имеет вид:

Точку условного экстремума определим из необходимого условия экстремума функции многих переменных:

Таким образом, координаты искомой точки экстремума имеют вид: .

Отметим, что решение аналогичных практических задач данными  методами является наглядной иллюстрацией  методов оптимизации непрерывных и дискретных  функций дохода предприятия. Отметим также, что данные примеры позволят будущим специалистам в дальнейшем правильно анализировать экономико-математические производственные модели и подбирать соответствующий эффективный метод для их решения.

Литература

1. Ляшенко И.Н., Карагодова Е.А., Черникова Н.В., Шор Н.З. Линейное и нелинейное программирование. Киев, «Высшая школа», 1975. 350-351с.

2. Таха, Хэмди А. Введение в исследование операций. -М.:Изд.дом «Вильямс», 2001.-447-452с.