Международный экономический форум 2009

Дмитренко И.С., Колесников С.А.

Применение методов классической оптимизации и функциональных уравнений Беллмана при решении задач о распределении инвестиций

Применение методов  классической оптимизации и функциональных уравнений Беллмана при решении задач о распределении инвестиций.

Среди экономически важных задач большой интерес представляет проблема распределения капитальных вложений между отраслями или предприятиями отрасли. Постановка таких задач, а значит и подбор соответствующего метода решения, зависит от способа задания функции дохода предприятия. В данной работе рассмотрены два способа задания функции доходности и предложены следующие методы решения : 1) метод классической оптимизации, предусматривающий исследование непрерывной функции многих переменных на экстремум с помощью построения функции Лагранжа,  2) метод обратной прогонки динамического программирования для дискретной функции дохода, предусматривающий составление функциональных уравнений Беллмана.

Инвестиции,

усл.ден.ед.

Прирост выпуска продукции, усл.ден.ед.

g1(x)

g2(x)

g3(x)

g4(x)

8

10

12

11

100

16

21

23

150

25

28

27

30

200

36

40

38

37

250

44

48

50

51

Запишем уравнение Беллмана для метода обратной прогонки и разобьем решение задачи на 4 этапа.

   

Этап 4.    F5(C5)=0

C4

F4(C4)=g4(x4)

оптимум

X4=0

X4=50

X4=100

X4=150

X4=200

X4=250

F4(C4)

X4*

0

0

-

-

-

-

-

0

0

50

-

11

-

-

-

-

11

50

100

-

-

23

-

-

-

23

100

150

-

-

-

30

-

-

30

150

200

-

-

-

-

37

-

37

200

250

-

-

-

-

-

51

51

250

Этап 3.           

C3

F3(C3)=g3(x3)+ F4(C3-x3)

оптимум

X3=0

X3=50

X3=100

X3=150

X3=200

X3=250

F3(C3)

X3*

0

0+0=0

-

-

-

-

-

0

0

50

0+11=11

12+0=12

-

-

-

-

12

50

100

0+23=23

12+11=23

21+0=21

-

-

-

23

0,50

150

0+30=30

12+23=35

21+11=33

27+0=27

-

-

35

50

200

0+37=37

12+30=42

21+23=44

27+11=38

38+0=38

-

44

100

250

0+51=51

12+37=49

21+30=51

27+23=50

38+11=49

50+0=50

51

0,100

 Этап 2.                  

C2

F2(C2)=g2(x2)+ F3(C2-x2)

оптимум

X2=0

X2=50

X2=100

X2=150

X2=200

X2=250

F2(C2)

X2*

0

0+0=0

-

-

-

-

-

0

0

50

0+12=12

10+0=10

-

-

-

-

12

0

100

0+23=23

10+12=22

20+0=20

-

-

-

23

0

150

0+35=35

10+23=33

20+12=32

28+0=28

-

-

35

0

200

0+44=44

10+35=45

20+23=43

28+12=40

40+0=40

-

45

50

250

0+51=51

10+44=54

20+35=55

28+23=51

40+12=52

48+0=48

55

100

 Этап 1.       

C1

F1(C1)=g1(x1)+ F2(C1-x1)

оптимум

X1=0

X1=50

X1=100

X1=150

X1=200

X1=250

F1(C1)

X1*

0

0+0=0

-

-

-

-

-

0

0

50

0+12=12

8+0=8

-

-

-

-

12

0

100

0+23=23

8+12=20

16+0=16

-

-

-

23

0

150

0+35=35

8+23=31

16+12=28

25+0=25

-

-

35

0

200

0+45=45

8+35=43

16+23=39

25+12=37

36+0=36

-

45

0

250

0+55=55

8+45=53

16+35=51

25+23=48

36+12=48

44+0=44

55

0

Из таблицы этапа 1 находим оптимальное значение целевой функции при распределении между предприятиями всей суммы С1=250: F1(250)=55. При этом первому предприятию должно быть выделено x1*=0 ден.ед. Тогда остальным трем предприятиям остается распределить С2=С1-x1*=250-0=250 ден.ед.  Из таблицы этапа 2 выделению суммы С2=250 соответствует значение x2*=100, тогда С3=С2- x2*=250-100=150 ден.ед. Из таблицы этапа 3 выделению суммы С3=150 соответствует значение x3*=50, тогда С4=С3- x3*=150-50=100 ден.ед. На последнем этапе 4 определяем x4*=100.

Таким образом, оптимальный план инвестирования предприятий:

X*= (0,100,50,100), который обеспечит максимальный доход, равный

F(250)=g1(0)+g2(100)+g3(50)+g4(100)=0+20+12+23=55 усл.ден.ед.

Вторая задача имеет похожую постановку, но функции дохода являются нелинейными. Для модернизации трех предприятий совет директоров инвестирует средства в объеме 150 денежных единиц. Пусть приросты выпуска продукции, а значит и общего дохода, зависят от выделенной суммы  для i-го предприятия и выражаются соответствующими квадратичными зависимостями:

          

Найдем методом множителей Лагранжа распределение инвестиций между предприятиями, которое обеспечит фирме максимальный прирост продукции.

Перед тем, как составить функцию Лагранжа, запишем функцию суммарного дохода предприятий:  

Тогда функция Лагранжа имеет вид:

Точку условного экстремума определим из необходимого условия экстремума функции многих переменных:

Таким образом, координаты искомой точки экстремума имеют вид: .

Отметим, что решение аналогичных практических задач данными  методами является наглядной иллюстрацией  методов оптимизации непрерывных и дискретных  функций дохода предприятия. Отметим также, что данные примеры позволят будущим специалистам в дальнейшем правильно анализировать экономико-математические производственные модели и подбирать соответствующий эффективный метод для их решения.

Литература

1. Ляшенко И.Н., Карагодова Е.А., Черникова Н.В., Шор Н.З. Линейное и нелинейное программирование. Киев, «Высшая школа», 1975. 350-351с.

2. Таха, Хэмди А. Введение в исследование операций. -М.:Изд.дом «Вильямс», 2001.-447-452с.