Нелинейный метод наименьших квадратов. Метод Койка

Если модель с распределенным лагом характеризуется бесконечной величиной максимального лага L, то для оценивания неизвестных параметров данной модели применяются нелинейный метод наименьших квадратов и метод Койка. При этом исходят из предположения о геометрической структуре лага, т. е. влияние лаговых значений факторной переменной на результативную переменную уменьшается с увеличением величины лага в геометрической прогрессии.

Если в модель включена только одна объясняющая переменная, то её можно представить в виде:

В модели с распределённым лагом (1) неизвестными являются три параметра: β₀, β₁ и λ. Найти оценки данных параметров с помощью традиционного метода наименьших квадратов невозможно по нескольким причинам, поэтому в данном случае используются нелинейный метод наименьших квадратов и метод Койка

Суть нелинейного метода наименьших квадратов заключается в том, что для параметра

λ определяются значения в интервале [-1;+1] с определённым шагом, например, 0,05 (чем меньше шаг, тем точнее будет результат).

Для каждого значения λ рассчитывается переменная z:

zt=x_t+λx_t–1+λ²x_t–2+λ³x_t–3+…+λ^Lx_t–L,

с таким значением лага L, при котором дальнейшие лаговые значения переменной x не оказывают существенного влияния на z.

На следующем этапе с помощью традиционного метода наименьших квадратов оценивается модель регрессии вида:

y_t=β₀+β₁zt+ε_t (2)

и рассчитывается коэффициент детерминации R². Данный процесс осуществляется для всех значений λ из интервала [-1;+1]. Оценками коэффициентов β₀, β₁ и λ будут те, которые обеспечивают наибольшее значение R² для модели регрессии (2).

В основе метода или преобразования Койка лежит предположение о том, что если модель регрессия (1) справедлива для момента времени t, то она справедлива и для момента времени (t–1):

y_t–1=β₀+β₁x_t–1+β₁λx_t–2+β₁λ²x_t–3+β₁λ³x_t–4+…+ε_t,

Умножим обе части данного уравнения на λ и вычтем их из модели регрессии (1). В результате получим выражение вида:

y_t– λ y_t–1= β₀(1– λ)+β₁x_t+ε_t–λ ε_t–1,

или

y_t= β₀(1– λ)+β₁x_t+λy_t–1+ν_t, (2)

где ν_t= ε_t–λ ε_t–1.

Полученная модель (2) является моделью авторегрессии, что позволяет проанализировать её краткосрочные и долгосрочные динамические свойства.

Значение переменной y_t–1в краткосрочном периоде (в текущем периоде) рассматривается как фиксированное, а воздействие переменной х на переменную у характеризует коэффициент β1.

Если x_tв долгосрочном периоде (без учёта случайной компоненты модели) стремится к некоторому равновесному значению

то y_t и y_t–1также будут стремиться к своему равновесному значению, которое вычисляется по формуле:

из чего следует:

Долгосрочное влияние переменной х на переменную у характеризуется коэффициентом

Несмотря на то, что метод Койка очень удобен в вычислительном отношении (оценки параметров β₀, β₁ и λ можно рассчитать с помощью традиционного метода наименьших квадратов), оценки, полученные с его помощью, будут смещёнными и несостоятельными, т. к. нарушается первое условие нормальной линейной модели регрессии.