Метод Алмон

Для оценки неизвестных коэффициентов модели с распределённым лагом применяется метод Алмон или лаги Алмон.

Данный метод можно применять к моделям, которые характеризуются полиномиальной структурой лага и конечной величиной лага L:

y_t=β₀+β₁x_t+β₂x_t–1+…+βLx_t–L+ε_t. (1)

Структура лага определяется графическим методом при отражении зависимости параметров при факторных переменных от величины лага.

Алгоритм метода Алмон реализуется в несколько этапов:

Суть метода Алмон состоит в следующем:

1) зависимость коэффициентов при факторных переменных β_i от величины лага i аппроксимируется полиномиальной функцией:

а) первого порядка β_i=c₀+c₁*i

б) второго порядка

в) третьего порядка

г) в общем случае полиномиальной функцией порядка P:

Алмон доказал, рассчитать оценки коэффициентов c_i (i=0,P) намного проще, чем найти оценки непосредственно коэффициентов β_i. Подобный метод оценивания коэффициентов β_i называется полиномиальной аппроксимацией.

2) каждый коэффициент модели (1) можно выразить следующим образом:

β₁=c₀;

β₂=c₀+c₁+…+c_P;

β₃=c₀+2c₁+4c₂+…+2Pc_P;

β₄=c₀+3c₁+9c₂+…+3Pc_P;

…

βL=c₀+Lc₁+L2c₂+…+L_Pc_P.

Подставим полученные выражения для коэффициентов β_i в модель (1):

y_t=β₀+c₀x_t+(c₀+c₁+…+c_P)x_t–1+…+( βL=c₀+Lc₁+L2c₂+…+L_Pc_P)x_t–L+ε_t.

3) в полученном выражении перегруппируем слагаемые:

Обозначим слагаемые в скобках при коэффициентах c_i (i=0,P) как новые переменные:

С учётом новых переменных модель примет вид:

y_t=β₀+c₀z₀+c₁z₁+…+c_Pz_P+ε_t. (2)

4) оценки неизвестных коэффициентов модели (2) можно рассчитать с помощью традиционного метода наименьших квадратов. Далее на основе полученных оценок коэффициентов c_i (i=0,P)

5) найдём оценки коэффициентов β_i (i=1,L) модели (1), используя соотношения, полученные на первом шаге.

К основным недостаткам метода Алмон относятся:

1) необходимо заранее знать величину максимального временного лага L, однако на практике это невозможно. Определить величину лага L можно с помощью вычисления показателей тесноты связи, например, линейных парных коэффициентов корреляции, между результативной переменной у и лаговым значением факторной переменной х. Если показатель тесноты связи является значимым, то данную переменную необходимо включить в модель с распределённым лагом. Порядок максимального значимого показателя тесноты связи принимается в качестве максимальной величины лага L;

2) порядок полиномиальной функции Р также заранее неизвестен. При выборе порядка полинома обычно исходят из того, что на практике не используются полиномы более второго порядка, а выбранная степень полинома должна быть на единицу меньше числа экстремумов в структуре лага;

3) если между факторные переменные коррелируют друг с другом, то новые переменные z_i (i=0,L) которые являются линейной комбинацией факторных переменных x, будут также коррелировать между собой. Поэтому проблема мультиколлинеарности в преобразованной модели (2) устранена не полностью. Однако мультиколлинеарность новых переменных z_i в меньшей степени отражается на оценках неизвестных коэффициентов β_i исходной модели (1), чем при использовании традиционного метода наименьших квадратов к данной модели.

Основным преимуществом метода Алмон является то, что данный метод является универсальным и может быть использован при моделировании процессов, которые характеризуются различными структурами лагов.