Условия идентификации структурной формы системы одновременных уравнений
Введём следующие обозначения:
N – количество предопределённых переменных структурной формы системы одновременных уравнений;
n – количество предопределённых переменных в уравнении, проверяемом на идентифицируемость;
M – количество эндогенных переменных структурной формы системы одновременных уравнений;
m – количество эндогенных переменных в уравнении, проверяемом на идентифицируемость;
K – матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, проверяемое на идентифицируемость.
Необходимые и достаточные условия идентификации применяются только к структурной форме системы одновременных уравнений.
Первое необходимое условие идентифицируемости уравнения структурной формы системы одновременных уравнений.
Уравнение структурной формы системы одновременных уравнений идентифицируемо в том случае, если оно исключает хотя бы N-1 предопределённую переменную:
(N–n)+(M–m)≥N–1.
Второе необходимое условие идентифицируемости уравнения структурной формы системы одновременных уравнений.
Уравнение структурной формы системы одновременных уравнений идентифицируемо в том случае, если количество предопределённых переменных, не входящих в данное уравнение, будет не меньше числа эндогенных переменных этого уравнения минус единица:
N–n≥m–1.
Достаточное условие идентифицируемости уравнения структурной формы системы одновременных уравнений.
Уравнение структурной формы системы одновременных уравнений идентифицируемо в том случае, если ранг матрицы K равен (N-1).
Рангом матрицы называется размер наибольшей её квадратной подматрицы, определитель которой не равен нулю.
На основе перечисленных условий идентификации, можно сформулировать необходимые и достаточные условия идентифицируемости уравнения структурной формы системы одновременных уравнений:
- уравнение структурной формы системы одновременных уравнений считается сверхидентифицированным, если M–m>n–1 и ранг матрицы K равен (N-1);
- уравнение структурной формы системы одновременных уравнений считается точно идентифицированным, если M–m=n–1 и ранг матрицы K равен (N-1);
- уравнение структурной формы системы одновременных уравнений считается неидентифицированным, если M–m≥n–1 и ранг матрицы K меньше (N-1);
- уравнение структурной формы системы одновременных уравнений считается неидентифицированным, если M–m
В качестве примера можно рассмотрим процесс идентификации структурной формы модели спроса и предложения. Данная модель включает в себя три уравнения:
1) уравнение предложения:
2) уравнение спроса:
3) тождество равновесия:
QSt = Qdt
С учётом тождества равновесия, модель спроса-предложения может быть записана в виде:
Количество эндогенных переменных данной модели M равно двум (Pt и Qt), т.е. M=2. Количество предопределённых переменных данной модели N равно двум (Pt–1 и It), т.е. N=2.
Проверим выполнение первого необходимого условия идентифицируемости.
Для функции спроса выполняются равенства m=2 и n=1. Отсюда
(N–n)+(M–m)=(2–1)+(2–2)+(2–2)=1=(N–1)=1,
следовательно, уравнение спроса является точно идентифицированным.
Для функции предложения выполняются равенства m=2 и n=1. Отсюда
(N–n)+(M–m)=(2–1)+(2–2)+(2–2)=1=(N–1)=1,
следовательно, уравнение предложения является точно идентифицированным.
Проверим выполнение второго необходимого условия идентифицируемости.
Для функции спроса выполняются равенства m=2 и n=1. Отсюда
N–n=2–1=1=m–1=2–1=1,
следовательно, уравнение спроса является точно идентифицированным.
Для функции предложения выполняются равенства m=2 и n=1. Отсюда
N–n=2–1=1=m–1=2–1=1,
следовательно, уравнение предложения является точно идентифицированным.
Проверим выполнение достаточного условия идентифицируемости, заключающееся в том, чтобы хотя бы один из коэффициентов матрицы K не был равен нулю, т.к. M–1=1.
В первом уравнении модели исключена переменная It и матрица K=[b2]. Т.к. определитель данной матрицы не равен нулю, следовательно, rank=1=M–1 и уравнение является идентифицированным.
Во втором уравнении исключена переменная Pt–1 и матрица К=[a2]. Т.к. определитель данной матрицы не равен нулю, следовательно, rank=1=M–1 и уравнение является идентифицированным.
Т.к. уравнения спроса и предложения являются точно идентифицированными, то и система уравнений в целом точно идентифицирована.
Приведённая форма системы уравнений модели спроса-предложения:
