Критерий Дикки-Фуллера проверки наличия единичных корней
Проверкой наличия единичных корней называется задача проверки основной гипотезы вида
H0:ρ=0 в модели авторегрессии первого порядка:
yt=a+ρyt–1+εt.
Для данного ряда справедливы следующие предположения:
- временной ряд yt является стационарным, если выполняется условие – 1‹ρ‹1;
- временной ряд yt является нестационарным и представляет собой модель со случайным трендом, если выполняется условие ρ=1;
- временной ряд yt также является нестационарным, если выполняется условие ρ›0.
Таким образом, гипотеза о стационарности временного ряда yt состоит в проверке основной гипотезы вида H0:ρ=1.
Критерий Дикки-Фуллера используется при проверке гипотезы о наличия единичных корней.
При этом выдвигается основная гипотеза вида H0:ρ=1 для модели авторегрессии первого порядка:
yt=a+ρyt–1+εt.
Однако на следующем этапе оценивается не эта модель авторегрессии, а модель, которая получается после перехода к первым разностям:
Δyt=δyt-1+εt,
где δ=ρ–1.
Проверка основной гипотезы вида H0:ρ=1 для исходной модели авторегрессии первого порядка аналогична проверке гипотезы H0:δ=0 для полученной модели. Проверка данной гипотезы может осуществляться для трёх типов регрессионных уравнений:
Δyt=δyt-1+εt;(1)
Δyt=а+δyt-1+εt; (2)
Δyt=а+δyt-1+βt+εt. (3)
Данные модели регрессии отличаются только наличием членов модели a и βt.
Первая модель является моделью случайного тренда, во вторую модель включается свободный член a, являющийся коэффициентом случайного тренда. В третью модель включены и коэффициент случайного тренда, и коэффициент линейного временного тренда βt.
Проверка основной гипотезы H0:δ=0 состоит в оценивании методом наименьших квадратов одной или нескольких из моделей регрессии 1, 2, 3 для получения оценки и её стандартной ошибки.
Наблюдаемое значение t-критерия для проверки основной гипотезы вида H0:δ=0 состоит в оценивании методом наименьших квадратов одной или нескольких из моделей регрессии 1, 2, 3 для получения оценки 
и её стандартной ошибки.
Наблюдаемое значение t-критерия для проверки основной гипотезы вида H0:β=0 рассчитывают по формуле:
где
– стандартная ошибка оценки
Однако критическое значение t-критерия в данном случае нельзя определить по таблице распределения Стьюдента. Дикки и Фуллер провели исследования, в результате которых определили критические значения t-критерия для проверки гипотезы H0:δ=0 в зависимости от вида модели регрессии и объёма выборочной совокупности. Данные статистики обозначаются как τ – для первой модели регрессии, τμ – для второй модели регрессии, τх – для третьей модели регрессии. Они приведены в таблице критических значений статистик Дикки-Фуллера для различных уровней значимости.
При проверке гипотезы о наличии во временном ряду авторегрессии более чем первого порядка используется расширенный критерий Дикки-Фуллера (Augmented Dickey-Fuller Test – ADF).
Процесс авторегрессии порядка р можно записать следующим образом:
Основная гипотеза формулируется как H0:δ=0. Если данная гипотеза верна, то данная модель авторегрессии имеет единичный корень, т. е. подчиняется процессу авторегрессии первого порядка.
Проверка основной гипотезы H0:δ=0 осуществляется для различных типов регрессионных уравнений:
Справедливость основной гипотезы проверяется с помощью статистики τ для первой модели регрессии (при отсутствии свободного члена и временного тренда).
Справедливость основной гипотезы проверяется с помощью статистики τμ для второй модели регрессии, включающей свободный член.
Справедливость основной гипотезы проверяется с помощью статистики τх для третьей модели регрессии, включающей свободный член и временной линейный тренд.
Если сумма коэффициентов модели регрессии вида
равна единице, т. е.
т. е. в данной модели имеется единичный корень.