Линейные модели стационарного временного ряда

Стохастический временной ряд называется стационарным, если его математическое ожидание, дисперсия, автоковариация и автокорреляция являются неизменными во времени.

К основным линейным моделям стационарных временных рядов относятся:

1. модели авторегрессии;
2. модели скользящего среднего;
3. модели авторегрессии скользящего среднего.

Уровень временного ряда, представленного моделью авторегрессии порядка р, можно представить следующим образом:

y_t=δ₁y_t-1+δ₂y_t-2+…+δ_py_t–p+ν_t,

где p – порядок модели авторегрессии;

δ_t – коэффициенты модели авторегрессии, подлежащие оцениванию;

ν_t – белый шум (случайная величина с нулевым математическим ожиданием).

Модель авторегрессии порядка р обозначается как АР(р) или AR(p).

На практике чаще всего используются модели авторегрессии первого, второго, максимум третьего порядков.

Модель авторегрессии первого порядка АР(1) называется “Марковским процессом”, потому что значения переменной y в текущий момент времени t зависят только от значений переменной y в предыдущий момент времени (t–1). Данная модель имеет вид:

y_t=δy_t–1+ν_t.

Для модели АР(1) действует ограничение |δ|<1.

Модель авторегрессии второго порядка АР(2) называется “процессом Юла”. Данная модель имеет вид:

y_t=δ₁y_t-1+δ₂y_t-2+ν_t.

На коэффициенты модели авторегрессии второго порядка накладываются ограничения вида:

1. (δ₁+δ₂)<1;
2. (δ₁–δ₂)<1;
3. |δ₂|<1.

Модели скользящего среднего относятся к простому классу моделей временных рядов с конечным числом параметров, которые можно получить, представив уровень временного ряда как алгебраическую сумму членов ряда белого шума с числом слагаемых q.

Общая модель скользящего среднего порядка q имеет вид:

y_t=ν_t–φ₁ν_t–1–φ2ν_t–2–…–φqν_t–q,

где q – порядок модели скользящего среднего;

φ_t – неизвестные коэффициенты модели, подлежащие оцениванию;

ν_t – белый шум.

Модель скользящего среднего порядка q обозначается как CC(q) или MA(q).

На практике чаще всего используются модели скользящего среднего первого CC(1) и второго порядков CC(2).

Коэффициенты модели скользящего среднего порядка q не обязательно должны в сумме давать единицу и не обязательно должны быть положительными.

Для достижения большей гибкости модели временных рядов при эконометрическом моделировании в неё включают как члены авторегрессии, так и члены скользящего среднего. Подобные модели получили название смешанных моделей авторегрессии скользящего среднего и также относятся к линейным моделям стационарных временных рядов.

Смешанная модель авторегрессии скользящего среднего обозначается как АРСС(p,q) или ARMA(p,q).

Чаще всего на практике используется смешанная модель АРСС(1) с одним параметром авторегрессии p=1 и одним параметром скользящего среднего q=1. Данная модель имеет вид:

y_t=δy_t–1+ν_t–φν_t–1,

где δ – параметр процесса авторегрессии;

φ – параметр процесса скользящего среднего;

ν_t – белый шум.

На коэффициенты данной модели накладываются следующие ограничения:

1. |δ|<1 – условие, обеспечивающее стационарность смешанной модели;
2. |φ|‹1 – условие, обеспечивающее обратимость смешанной модели.

Свойство обратимости смешанной модели АРСС(p,q) означает, что модель скользящего среднего можно обратить или переписать в виде модели авторегрессии неограниченного порядка, и наоборот.