Сезонные фиктивные переменные

Метод сезонных фиктивных переменных относится к методам моделирования сезонных компонент временного ряда. Суть данного метода заключается в построении модели регрессии, которая наряду с фактором времени включает сезонные фиктивные переменные.

Фиктивной переменной (dummy variable) называется атрибутивный или качественный фактор, представленный с помощью определённого цифрового кода.

Моделью регрессии с переменной структурой называется модель регрессии, включающая в качестве факторной (факторных) переменных фиктивную переменную.

Предположим, что задача состоит в исследовании временного ряда X_ij, где i – это номер сезона (периода времени внутри года, например, месяца или квартала), i=1,L,

L – число сезонов в году, j – номер года, j=1,m,

m – общее количество лет. Количество уровней исходного временного ряда равно n=L*m.

При построении модели регрессии с переменной структурой необходимо учитывать, что число сезонных фиктивных переменных всегда должно быть на единицу меньше сезонов внутри года, т. е. должно быть равно величине L-1. Например, при моделировании годовых данных модель регрессии помимо фактора времени должна содержать одиннадцать фиктивных компонент (12-1). При моделировании поквартальных данных модель регрессии должна содержать три фиктивные компоненты (4-1) и т. д.

Каждому из сезонов соответствует определённое сочетание фиктивных переменных. Сезон, для которого значения всех фиктивных переменных равны нулю, является базой сравнения. Для остальных сезонов одна из фиктивных переменных принимает значение, равное единице. Например, если имеются поквартальные данные, то значения фиктивных переменных D₂,D₃,D₄будут принимать следующие значения для каждого из кварталов:

Тогда общий вид модели регрессии с переменной структурой будет иметь вид:

yt=β₀+ β₁*t+δ₂*D₂+δ₃*D₃+δ₄*D₄+εt.

Данная модель регрессии представляет собой одну из разновидностей аддитивной модели временного ряда.

На основе общей модели регрессии с переменной структурой можно составить базисную модель или модель тренда для первого квартала:

yt=β₀+ β₁*t+εt.

Также на основе общей модели регрессии с переменной структурой можно составить частные модели регрессии:

1) частная модель регрессии для второго квартала:

yt=β₀+ β₁*t+δ₂+εt;

2) частная модель регрессии для третьего квартала:

yt=β₀+ β₁*t+δ₃+εt;

3) частная модель регрессии для четвёртого квартала:

yt=β₀+ β₁*t+δ₄+εt.

Данные частные модели регрессии отличаются друг от друга только на величину свободного члена δ_i.

Коэффициент β₁ характеризует среднее абсолютное изменение уровней временного ряда под влиянием основной тенденции.

Сезонная компонента для каждого сезона рассчитывается как разность между средним значением свободных членов всех частных моделей регрессий и значением постоянного члена одной из моделей.

Среднее значение свободных членов всех частных моделей регрессий рассчитывается по формуле:

Для поквартальных данных оценка сезонных отклонений осуществляется по формулам:

1) оценка сезонного отклонения для первого квартала:

2) оценка сезонного отклонения для второго квартала:

3) оценка сезонного отклонения для третьего квартала:

4) оценка сезонного отклонения для четвёртого квартала:

Сумма сезонных отклонений должна равняться нулю.