Сезонные и циклические компоненты временного ряда

Для построения адекватной модели временного ряда необходимо охарактеризовать сезонные и циклические компоненты временного ряда. К основным методам моделирования сезонных и циклических колебаний относятся:

1. метод вычисления сезонной компоненты и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда;
2. метод применения сезонных фиктивных переменных;
3. метод анализа сезонных колебаний с помощью автокорреляционной функции;
4. метод, основанный на использовании одномерных рядов Фурье.

В связи с тем, что моделирование сезонных и циклических колебаний происходит аналогично, применение данных методов мы будем рассматривать на примере моделирования сезонных колебаний.

Аддитивная модель временного ряда стоится в том случае, если амплитуда сезонных колебаний не меняется во времени:

y_t=T_t+S_t+ε_t,

где T – это трендовая компонента;

S – это сезонная компонента;

ε – случайный шум.

Мультипликативная модель временного ряда стоится в том случае, если амплитуда сезонных колебаний изменяется во времени:

y_t=T_t*S_t+ε_t.

Предположим, что задача состоит в исследовании временного ряда X_ij, где i – это номер сезона (периода времени внутри года, например, месяца или квартала), i=1,L,

L – число сезонов в году, j – номер года, j=1,m,

m – общее количество лет. Количество уровней исходного временного ряда равно n=L*m.

Прежде чем рассчитывать сезонную компоненту, исходный временной ряд необходимо выровнять. Для этого применяются методы механического выравнивания, к которым относятся:

1. метод скользящих средних;
2. метод экспоненциального сглаживания;
3. метод медианного сглаживания и др.

Результатом процедуры сглаживания будет временной ряд выровненных значений не содержащих сезонной компоненты.

Если временной ряд представлен аддитивной моделью, то в качестве сезонной компоненты используется показатель абсолютного отклонения – Sa_i. Сумма всех сезонных компонент, т.е. показателей абсолютных отклонений Sa_i. должна быть равна нулю.

Если временной ряд представлен мультипликативной моделью, то в качестве сезонной компоненты используется индекс сезонности – Is_i. Произведение всех сезонных компонент, т. е. индексов сезонности Is_i, должно быть равно единице.

Показатель абсолютного отклонения в i-том сезоне рассчитывается как среднее арифметическое из отклонений фактического и выровненного уровней временного ряда:

Индекс сезонности в i-том сезоне рассчитывается как среднее арифметическое из отношений фактического уровня временного ряда к выровненному:

Если при построении аддитивной модели временного ряда сумма всех абсолютных отклонений не равна нулю, то рассчитываются скорректированные значения сезонных компонент по формуле:

где L – общее количество сезонных компонент.

На следующем этапе построения модели временного ряда осуществляется расчёт трендовой компоненты с помощью метода аналитического выравнивания функциями времени или кривыми роста. Данный метод выравнивания применяют не к исходному временному ряду, а к временному ряду с исключённой сезонной компонентой. При этом уровни исходного временного ряда корректируются на величину сезонной компоненты следующим образом:

1. для аддитивной модели из исходных уровней вычитаются показатели абсолютных отклонений Sa_i;
2. для мультипликативной модели уровни исходного временного ряда делятся на индексы сезонности Is_i.