Методы Кохрана-Оркутта и Хилдрета-Лу оценки коэффициента автокорреляции

Помимо вычисления выборочного коэффициента автокорреляции остатков оценку автокорреляционного коэффициента β можно рассчитать методом Кохрана-Оркутта.

Предположим, что на основе собранных наблюдений была построена линейная парная модель регрессии:

y_t=β₀+β₁x_t+ε_t.(1)

Рассмотрим применение метода Кохрана-Оркутта оценки коэффициента автокорреляции на примере данной модели.

Осуществление метода Кохрана-Оркутта происходит в несколько этапов.

1) оценки неизвестных коэффициентов исходной модели регрессии определяются классическим методом наименьших квадратов. В результате мы получим оценённую модель регрессии вида:

2) на основании исходной (1) и оценённой (2) моделей регрессии рассчитываются остатки модели:

3) рассчитывается выборочный автокорреляционный коэффициент первого порядка по формуле:

С помощью данного коэффициента можно оценить авторегрессионную зависимость остатков:

4) строится преобразованная модель регрессии. Модель регрессии в момент времени (t-1) может быть представлена виде y_t-1=β₀+β₁x_t-1+ε_t-1.(3). Если модель регрессии в момент времени (t-1) умножить на величину коэффициента автокорреляции β и вычесть её из исходной модели регрессии в момент времени t, то в результате мы получим преобразованную модель регрессии, учитывающую процесс автокорреляции первого порядка:

Для более наглядного представления преобразованной модели воспользуемся методом замен:

Y_t=y_t–ρy_t-1;

X_t=x_t–ρx_t-1;

Z_t=1– ρ.

В результате преобразованная модель регрессии примет вид:

Y_t= Z_t* β₀+β₁ X_t+ ν_t. (5)

5) оценки неизвестных коэффициентов преобразованной модели регрессии рассчитываются с помощью традиционного метода наименьших квадратов:

Далее рассчитываются оценки коэффициентов исходной модели регрессии по формулам:

В результате полученную модель регрессии можно представить в виде:

6) на заключительном этапе вновь вычисляются остатки e_t между исходной (1) и преобразованной оценённой (7) моделями регрессии, и процесс повторяется с третьего этапа.

Метод Кохрана-Оркутта является итеративным методом оценивания. Его основное отличие состоит в том, что процесс итеративного оценивания исходной модели регрессии сходится или останавливается при условии, если последнее вычисленное значение оценки коэффициента автокорреляции первого порядка ρ₁ почти не отличается от своего предыдущего значения.

Другим методом вычисления оценки коэффициента автокорреляции является метод Хилдрета-Лу.

В этом случае коэффициент автокорреляции задаётся двумя параметрами: диапазоном и величиной шага. Например, коэффициента автокорреляции ρ1 заключается в пределах [-1;+1], и его значения вычисляются с шагом 0,02.

Для каждого из значений коэффициента автокорреляции с помощью метода разностей строится преобразованная модель регрессии вида:

Y_t= Z_t* β₀+β₁X_t+ ν_t,

где Y_t=y_t–ry_t-1;

X_t=x_t–rx_t-1;

Z_t=1–r.

Далее оценки неизвестных коэффициентов преобразованной модели регрессии рассчитываются с помощью классического метода наименьших квадратов:

Оценкой коэффициента автокорреляции первого порядка ρ₁ будет являться то значение коэффициента, с помощью которого вычисляется минимальная сумма квадратов отклонений теоретических значений от расчётных значений (на основе преобразованной модели регрессии).

Оценки неизвестных коэффициентов результативной модели регрессии рассчитываются по формулам: