Линейное и нелинейное программирование

Линейное программирование. Этот метод математического программирования объединяет методы решения задач, которые описываются линейными уравнениями. Если предприятие работает на рынке, близком по свойствам к рынку чистой конкуренции, на котором оно вынуждено продавать товары по неизменной, установившейся независимо от предприятия цене, то между выручкой от реализации, издержками и количеством реализованной продукции может существовать линейная зависимость. Ограничения выпуска продукции по загрузке производственных мощностей выпускаемой продукции могут быть описаны линейными неравенствами. В этом случае составление оптимального по прибыли или выручке от реализации плана производства сводится к решению задачи линейного программирования.

Нелинейное программирование. Оно объединяет методы решения задач, которые описываются нелинейными соотношениями. К задачам нелинейного программирования относятся задачи оптимизации производства для большинства предприятий, поскольку в настоящее время они действуют на неоднородном рынке в условиях монополистической конкуренции и спрос на их продукцию зависит от цены.

Оптимизация по максимуму выручки или прибыли. Предприятие, действующее на неоднородном рынке, или предприятие-монополист может легко использовать этот метод, если связь цены и сбыта представить линейной функцией. Выручка от реализации определяется так:

ВВ = Σ_{i = 1 ÷ n} Р_i × Q_i = Σ_{i = 1 ÷ n} (a_i × Q_i – b_i × Q_i²), (1)

где ВВ — валовая выручка; P_i — цена i-го вида продукции; Q_i — объем производства и реализации i-го вида продукции; a_i и b_i — постоянные коэффициенты линейной зависимости цены соответственно от объема производства и сбыта i-го вида продукции; i — порядковый номер вида продукции; n — общее число видов продукции, которую предполагается производить в планируемом периоде; ∑_{i = 1 ÷ n} — суммы по всем n видам продукции.

Прибыль предприятия определяется так:

G = BB – ВИ = Σ_{i = 1 ÷ n} [(a_i × Q_i – b_i × Q_i²) – (ПОИ + СПИ_i × Q_i)], (2)

где ВИ — валовые издержки; ПОИ — постоянные издержки; СПИ — средние переменные издержки в производстве i-го вида продукции.

Из (1) вытекает целевая функция для максимизации выручки:

ВВ = Σ_{i = 1 ÷ n} (a_i × Q_i – b_i × Q_i²) → max. (3)

Из (2) вытекает целевая функция для максимизации прибыли:

G = Σ_{i = 1 ÷ n} [a_i × Q_i – (b_i – СПИ_i) × Q_i² – ПОИ] → max. (4)