К.ф.-м.н. Попова Н.В.
ФГБОУ ВПО «РЭУ им. Г.В. Плеханова», Россия
О применении математических методов в финансовом анализе
Есть еще одна сторона таких исследований. В ходе решения задачи об инвестиционном свойстве облигации приходится решать определенную математическую задачу, что иногда вынуждает автора проводить дополнительные исследования. В результате решения таких специальных задач могут появиться новые результаты.
Например, в работе [4] рассмотрена задача о влиянии частоты купонных выплат на цену облигации, где котируемая цена облигации 
рассматривается как функция числа купонных платежей 
в году: 
. Здесь 
− функция, определенная на множестве 
, а 
, 
, 
, 
– фиксированные параметры облигации. Для решения задачи потребовалось воспользоваться свойствами функции 
на множестве 
. Известно, что 
. Монотонность этой функции установлена для целочисленного положительного аргумента в теории числовых последовательностей. Более подробно свойства этой функции в литературе не упоминаются. В связи с этим были доказаны следующие утверждения о функции 
[5]:
1) функция 
является возрастающей и вогнутой на множестве 
;
2) абсолютное изменение функции 
при увеличении 
на 1 тем больше, чем меньше 
, т.е. 
, где 
;
3) относительное изменение функции 
при увеличении 
на 1 тем больше, чем меньше 
, т.е. 
, где 
.
Доказательства этих утверждений получены с помощью разложений функций в степенные ряды, теорем о дифференцируемых функциях и теорем выпуклого анализа. Решение этой вспомогательной задачи само по себе представляет интерес и дополняет теорию функций. На основании доказанных свойств функции 
в работе [4] установлена ранее не изученная зависимость цены купонной облигации от числа купонных платежей в году. Например, одна из теорем и ее доказательство имеют вид.
Теорема. При фиксированных значениях 
, 
и 
, где 
, относительное изменение котируемой цены облигации при изменении числа купонных платежей в году на 1 тем больше, чем меньше число купонных платежей в году:
Действительно, пусть 
(облигация продаётся с дисконтом). Так как
,
то
,
,
где 
. Тогда отношение
поскольку 
, 
, 
при 
. Для облигации, продающейся с премией 
, доказательство базируется на теоремах, доказанных в [4]. Приведенные в работе [4] конкретные вычисления подтверждают справедливость доказанных теорем.
Другой пример вспомогательной задачи. В работе [6] доказана теорема о влиянии срока до погашения на изменчивость цены облигации. Решение основной задачи и в этом случае потребовало решения вспомогательной задачи в виде доказательства специальной теоремы. Чтобы установить влияние уровня доходности рынка на абсолютное и относительное изменение цены облигации при изменении ее срока до погашения на один купонный период, была доказана следующая теорема.
Теорема. При фиксированном 
справедливы следующие утверждения:
1) 
и 
являются убывающими функциями на отрезке 
(облигация продается с премией при 
и по номиналу при 
);
2) существуют точки максимумов 
функции 
и 
функции 
на
множестве 
(облигация продается с дисконтом при 
).
Абсолютное
и относительное 
изменения цены облигации при уменьшении срока до погашения на один купонный период рассматриваются как функции доходности 
. Эта теорема является естественным продолжением одной из рыночных теорем. Однако ранее эта зависимость не изучалась. Для доказательства теоремы использованы достаточные условия монотонности и глобального экстремума дифференцируемой функции.
Результаты доказанной теоремы оказались необходимы при доказательстве зависимости изменчивости цены облигации от срока до погашения. Например, доказательство утверждения теоремы о поведении последовательности 
абсолютных изменений цены облигации, продающейся с премией, при увеличении ее доходности на 
имеет вид. Сравним 
-й и 
-й члены последовательности. Рассмотрим разность:
.
Значит, последовательность 
является возрастающей. Здесь 
и 
− абсолютные изменения цены облигации при уменьшении срока до погашения на один купонный период при уровнях доходности 
и 
соответственно, рассмотренные в приведенной теореме. Согласно утверждению 1, 
. Как видим, решение основной задачи потребовало решения вспомогательной задачи в виде доказательства приведенной теоремы. Таким образом, работа [6] является примером того, что применение математических методов позволяет установить новые инвестиционные свойства облигации, которые в условиях реального рынка могут явно не проявляться, однако оказывают влияние на известные инвестиционные свойства.
Рассмотрены некоторые задачи в теории финансовых инвестиций с фиксированным доходом. Как видим, применение математических методов не только способствует развитию этой теории, но и порождает новые задачи, в результате чего могут появиться новые результаты в теории функций или теории инвестирования.
Литература
1. Geoffrey Poitras Frederick R. Macaulay, Frank M. Redington and the Emergence of Modern Fixed Income Analysis. - 2006 – Citeseer.
2. Барбаумов В. Е., Гладких И. М., Чуйко А. С. Финансовые инвестиции с фиксированным доходом (количественный анализ): Учебное пособие. – М.: Изд-во РЭА им. Г.В.Плеханова, 2006. - 112 с..
3. Мельников А. В., Попова Н. В., Скорнякова В. С. Математические методы финансового анализа. – М.: Анкил, 2006.
4. Попова Н.В. Влияние частоты купонных платежей на цену облигации // Вестник финансового университета. – 2012. – № 3 (69).
5. Попова Н.В. Показательно-степенная функция в задаче о цене облигации. Материалы VIII международной научно-практической конференции «Теория и практика современной науки». 2012 г. Москва: Институт стратегических исследований.
6. Попова Н.В. Влияние срока до погашения на изменчивость цены облигации // Вестник финансового университета. – 2013. – № 3(75).