Кожагельдиев Б.К., Мухамадиева А.А.
Применение математических методов в экономике для успешного ведения бизнеса
В условиях рыночной экономики для успешного ведения бизнеса предприятиям необходимо применять наиболее эффективные методы при анализе различных организационных систем, одними из которых и являются экономико-математические методы. Их задачей является количественное обоснование принимаемых решений по организации производства, это построение математических и экономических моделей для принятия решений в сложных ситуациях или в условиях неопределенности; изучение взаимосвязей, определяющих в последствии принятие решений, и установление критериев эффективности, позволяющих определять преимущество того или иного варианта действия и т.д.Экономико-математические модели оценивают все взаимосвязи переменных в количественном выражении, что позволяет получить более качественный прогноз. Для любого экономического субъекта возможность прогнозирования ситуации означает, прежде всего, получение лучших результатов или избежание потерь.
От своевременности и правильности аналитических выводов в значительной мере зависит научная обоснованность и оптимальность этих решений.
Математические модели использовались с иллюстративными и исследовательскими целями еще Ф.Кенэ (1758г. «Экономическая таблица»), А.Смитом, Д Рикардо.
В 19 веке большой вклад в моделирование рыночной экономики внесла математическая школа (Л.Вальрас, О.Курно, В.Парето, Ф.Эджворд и др.).
В 20 веке математические методы моделирования применялись очень широко, с их использованием связаны практически все работы, удостоенные Нобелевской премии по экономике (Д.Хикс, Р.Солоу, П.Самуэльсон и др.). Экономические модели позволяют выявить особенности функционирования экономического объекта и на основе этого предсказывать будущее поведение объекта при изменении каких –либо параметров.
В данной работе мы хотим заострить внимание на модели динамического программирования, для того, чтобы на примере, хотя бы одного метода из всей совокупности экономико-математических методов, проиллюстрировать актуальность данной темы, то есть эффективность применения в условиях рыночной экономики данных методов для анализа хозяйственной деятельности предприятий.
Модели динамического программирования применяются при решении задач различных модификаций, например, при разработке правил управления запасами, устанавливающими момент пополнения запасами и размер пополняющего заказа; при разработке правил календарного планирования производства; при анализе замены оборудования новым; при ремонте оборудования и т.д.
Модели динамического программирования ценны тем, что позволяют на основе стандартного подхода с использованием при минимальном вмешательстве человека принимать такие решения, т.е. на основе анализа делать такие выводы, которое могут оказать большое влияние на прибыль предприятия.
Решение:
Способ деления управления на шаги естественный, по годам, r=6. Параметр состояния – возраст машины – Sk-1 = t, So=0 – машина новая в начале первого года эксплуатации. Управление на каждом шаге зависит от 2-х переменных Х и Х.
Уравнение состояния зависит от управления:
T=1, если хn = X
S n = 1, если xn = X, n=1,2,3,4,5
В самом деле, если к k-му шагу Sn-1 = t, то при сохранении машины хn=X через год возраст машины увеличивается на 1. Если машина заменяется новой хn=X , то это означает, что к началу k-го шага ее возраст t=0, а после года эксплуатации t=1, т.е. Sn=1.
300(t+1),если
fn = (Xn, t) = 2300-2000*2 , если хn = X
(При Х затраты только на эксплуатацию машины возраста t, при Х машина продается (-2000*2 ), покупается новая (2000) и эксплуатируется в течении первого года (300), общие затраты равны (-2000*2 +2000+3000)).
Пусть Zn (t) – условные оптимальные затраты на эксплуатацию машины, начиная с k–го шага до конца, при условии, что к началу k-го шага машина имеет возраст t лет. Запишем для функций Zn (t) уравнение Беллмана, заменив задачу максимизации на задачу минимизации:
300(t+1)-200*2 , если X5=X
Z5 = min 2300-2000*2 -2000*2 , если Х6=Х
Величина 2000*2 - стоимость машины возраста t лет (по условию машина после 6 лет эксплуатации списывается).
300 (t+1)+ Z n+1 (t+1), если Хn=X
Zn=min 2600-2000*2 +Zn+1 (1) , если Хn=X
k=5,4,3,2,1.
Из определения функций Zn (t) следует
Zmin = Z1(0).
Геометрическое решение данной задачи следующее. На оси абсцисс будем откладывать номер шага k, на оси ординат возраст t машины. Точка (k-1, t) на плоскости соответствует началу k-го года эксплуатации машины возраста t лет. Перемещение на графике в зависимости от принятого управления на k-м шаге следующее:
X 300 t+1
2600-2000*2
Состояние начала эксплуатации машины соответствует точке So (0;0), конец точкам S (7 ; t). Любая траектория, переводящая точку S(k-1; t) из So в S состоит из отрезков – шагов, соответствующих годам эксплуатации. Надо выбрать такую траекторию, при которой затраты на эксплуатацию машины окажутся минимальными.
Над каждым отрезком, соединяющим точки (k-1; t) и (k; t+1), запишем соответствующие управлению Х затраты, найденного из показателя эффективности деленного на 300(t+1) , а над отрезком соединяющим точки (k-1; t) и (k; t), запишем затраты, соответствующие управлению Х , т.е. 2600-2000*2 . Таким образом мы разметим все отрезки, соединяющие точки на графике, соответствующие переходам из любого состояния Sk-1 в состояние Sk.
В нашем примере над отрезками, соединяющими точки k1 и k+1;2 стоит число 600, что соответствует затратам на эксплуатацию машины в течении второго года службы, а над отрезками, соединяющими k1 и k+1;1 стоит число 1300 – это сумма затрат на покупку машины и эксплуатацию новой машины в течении года без «затрат» за проданную машину возраста t лет. Следует учесть, что 0=<t=<k.
Проведем на размеченном графике условную оптимизацию.
6 шаг: начальное состояние –точка 5t,
конечное состояние – точка 6t.
В состоянии 6t машина продается, условный оптимальный доход от продажи равен 2000*2 , но поскольку целевая функция связана с затратами, то в кружках точки 6t поставим величину со знаком минус,
Анализируем, как можно попасть из каждого начального состояния в конечное на 6 шаге.
Состояние (5;1). Из него можно попасть в состояние (6;2), затратив на эксплуатацию машины 600, выручив затем от продажи 500, то есть суммарные затраты=100, из состояния (5;1) с затратами 1300-1000=300. Значит, если к последующему шагу система находясь в точке (5;1), то следует идти в точку (6;2), укажем это направление на графике выделенной стрелкой, а неизбежные минимальные затраты, соответствующие этому переходу=100 (поместим эту величину в кружке точки (5;1)).
Состояние (5;2). Из него можно попасть в точку (6;3) с затратами 900-250=650 и в точку (6;1) с затратами 1800-1000=800. Выбираем первое управление и отмечаем его выделенной стрелкой, а Z5 (2) =650 проставляем в кружке точки (5;2).
Рассуждая таким же образом для каждой точки предпоследнего шага, мы найдем для любого исхода 5 шага оптимальное управление на 6 шаге, отмечаем его выделенной стрелкой.
Далее планируем 5 шаг, анализируя каждое состояние, в котором может оказаться система в конце 4-го шага с учетом оптимального продолжения до конца процесса, т.е. решаем для всех 0=<t=<5, при k=5 уравнение.
После проведения условной оптимизации получим в точке (0;0) минимальные затраты на эксплуатацию машины в течении 6 лет с последующей ликвидацией: Zmin=7100. Далее строим оптимальную траекторию, перемещаясь из точки S0(0;0) по двойным стрелкам S. Получаем набор точек {(0;0); (1;1) ;(2;2); (3;3); (4;1); (5;2); (6;3)}, который соответствует оптимальному управлению Х (Х, Х, Х, Х, Х, Х ).
Оптимальный режим эксплуатации состоит в том, чтобы заменить машину новой в начале 4-го года.
Таким образом, размеченный график позволяет наглядно интерпретировать расчетную схему и решить задачу методом динамического программирования.
Как уже отмечалось модели и вычислительные схемы динамического программирования очень гибки в смысле возможностей включения в модель различных модификаций задачи. Например, аналогичная задача может быть рассмотрена для большого числа вариантов управления: «ремонт», «капитальный ремонт» и т.д. Можно рассматривать замену оборудования новым с учетом технического процесса, можно учесть изменения в затратах на эксплуатацию оборудования после его ремонта, в зависимости от года эксплуатации (дороже, дешевле). Все эти факторы можно учитывать вычислительной схемой динамического программирования.
Для снижения трудоемкости расчетов вычислительный процесс можно компьютеризировать.
Таким образом, для того чтобы в современных условиях предприятия могли эффективно функционировать необходимо применять прогрессивные методы анализа хозяйственной деятельности, к котором мы и относим экономико-математические.