Оценка коэффициентов модели парной регрессии с помощью выборочного коэффициента регрессии

Помимо метода наименьших квадратов, с помощью которого в большинстве случаев определяются неизвестные параметры модели регрессии, в случае линейной модели парной регрессии осуществим иной подход к решению данной проблемы.

Линейная модель парной регрессии может быть записана в виде:

где у – значения зависимой переменной;

х – значения независимой переменной;

у – среднее значение зависимой переменной, которое определяется на основании выборочных данных вычисленное по формуле средней арифметической:

y_i– значения зависимой переменной,

n – объём выборки;

x – среднее значение независимой переменной, которое определяется на основании выборочных данных вычисленное по формуле средней арифметической:

Параметр β_yx называется выборочным коэффициентом регрессии переменной у по переменной х. Данный параметр показывает, на сколько в среднем изменится зависимая переменная у при изменении независимой переменной х на единицу своего измерения.

Выборочный коэффициент регрессии переменной у по переменной х рассчитывается по формуле:

где r_yx – это выборочный парный коэффициент корреляции между переменными у и х, который рассчитывается по формуле:

уx – среднее арифметическое значение произведения зависимой и независимой переменных:

S_y – показатель выборочного среднеквадратического отклонения зависимой переменной у. Этот показатель характеризует, на сколько единиц в среднем отклоняются значения зависимой переменной у от её среднего значения. Он рассчитывается по формуле:

у² - среднее значение из квадратов значений зависимой переменной у:

у² - квадрат средних значений зависимой переменной у:

S_x – показатель выборочного среднеквадратического отклонения независимой переменной х. Этот показатель характеризует, на сколько единиц в среднем отклоняются значения независимой переменной х от её среднего значения. Они рассчитывается по формуле:

x² - среднее значение из квадратов значений независимой переменной х:

x² - квадрат средних значений независимой переменной х:

При использовании рассмотренного подхода оценивания неизвестных параметров линейной модели парной регрессии, следует учитывать что r_yx=r_xy, однако β_yx≠β_xy.